回文数研究

回文数研究

陈宣章

设n是一任意自然数。若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等，则称n为一回文数。例如， 为一回文数；则不是回文数。

自然数中，最小回文数是0，其次为1，2,3,4,5,6,7,8,9，11,22,33,44,55，66,77,88,99， 101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,202,212,222,232,242,252,262,272,282,292, 303,313,323,333,343,353,363,373,383,393,404,414,424,434,444,454,464,474,484,494， 505,515,525,535,545,555,565,575,585,595,606,616,626,636,646,656,666,676,686,696， 707,717,727,737,747,757,767,777,787,797,808,818,828,838,848,858,868,878,888,898，909,919,929,939,949,959,969,979,989,999。

平方回数定义：一个回文数，它同时还是某一个数的平方。例如：121。

100-1000内的平方回数只有3个：121=11²，484=22²=4*121，676=26²=4*169=4*13²。( 文章阅读网：www.sanwen.net )

四位的回文数的特点：决不会是一个质数，能被11整除。证明：设它为abba，即等于a*1000+b*100+b*10+a=1001a+110b=11(91a+10b)。六位的回文数也一样能被11整除。

借助电子计算机发现:完全平方数、完全立方数中的回文数比例,要比一般自然数中回文数所占的比例大得多。例如11^2=121，22^2=484，7^3=343,11^3=1331，11^4=……都是回文数。但是，人们迄今未能找到自然数(除0和1)的五次方，以及更高次幂的回文数。于是数学家们猜想：不存在n^k(n≥2,k≥5；n、k均是自然数)形式的回文数。

回文数算法：任一自然数倒过来成另一个数（称为影数），再把两数相加得一个和数。这种把任一自然数加上其影数的运算，称为回文数算法，或者合影运算。其和数倒过来得其影数，再把两数相加得一个和数；照此“合影运算”直到出现一个回文数。如接着算下去，还会得到更多的回文数。这个过程又称为“196算法”。

合影运算猜想：任一个自然数经有限次合影运算，最后必定能得到一个回文数。但是有些数并不“驯服”。例如：196重复了数十万次合影运算，仍未得到回文数。但既不能肯定运算下去永远得不到回文数，也不知需再运算多少步才能最终得到回文数。

利克瑞尔数：像196这种经重复合影运算仍未得到回文数的自然数，称为利克瑞尔数。最小的利克瑞尔数即196，因而它受到最多的关注。因还不能证明一个数永远不能形成回文数，所以利克瑞尔数这一命题仅是猜想而非已获证明；能证明的仅是那些反例，即如果一个数最终能形成回文数，则它是“非利克瑞尔数”。

1938年（电子计算机尚未问世），美国数学家莱默(D.Lehmer,1905-1991)计算到第73步，得到了一个没有形成回文数的35位的和数。至今挑战此题的数学爱好者从未间断过，随着计算机科技的发展，不断有人编写不同的程序对此题发起挑战。W.V.Landingham在2006年2月已计算到699万步，得到一个2.89亿位以上的和数，其间仍未出现回文数。

另外，关于达到回文数需要计算步数的世界记录：2005年11月30日，Jason Doucette对一个19位数字1,186,060,307,891,929,990, 用程序经261步合影运算得到回文数。（见附录，表1，来源于《百度百科•回文数》）

我的研究：

一．一般自然数中回文数所占的比例。

1.一位数0-9：全部是回文数。回文数所占比例10/10=1/1。

2.二位数10-99：∵十位数字A，回文数的个位数字必须为A。∴回文数所占比例1/10。

3.三位数100-999：∵前两位数字AB，回文数的个位数字必须为A。∴回文数所占比例1/10。

4.四位数1000-9999：∵前两位数字AB，回文数的后两位数字必须为BA。∴回文数所占比例1/100。

5.五位数-：∵前三位数字ABC，回文数的后两位数字必须为BA。∴回文数所占比例1/100。

6.六位数-：∵前三位数字ABC，回文数的后两位数字必须为CBA。∴回文数所占比例1/1000。

7.七位数-：∵前四位数字ABCD，回文数的后三位数字必须为CBA。∴回文数所占比例1/1000。

……N位数中回文数所占比例M：⑴N为偶数时，M=1/10^n,而n=N/2。⑵N为奇数时，M=1/10^n,而n=（N-1）/2。⑶当N→∞时，M→0。⑷在全部自然数中，回文数所占的比例为1.……/∞，M→0；而绝大多数是非回文数。

二．合影运算平级数和合影运算升级数。

如果N位数的合影运算之和仍然为N位数，例如：+=，称为合影运算平级数；如果合影运算之和为（N+1）位数，例如：+=，称为合影运算升级数。所以，自然数可以分为三个子集：回文数子集，合影运算平级数子集和合影运算升级数子集。

1.因为回文数最重要的问题是合影运算猜想，所以研究重点应该是合影运算升级数子集。只有不断合影运算升级的数才有可能是利克瑞尔数。

2.合影运算平级数与原来的自然数属于“等价”，例如：196+691=887，则887与196、691等价。因为887是合影运算升级数，比196、691更有研究价值。当然，假如最后证明887是利克瑞尔数，则788、691、196为更小的利克瑞尔数。它们之间的区别仅是合影运算的次数。

3.可以对两位数以上（含两位数）自然数分成每90个数一段进行研究。

例如：在10-99这90个数中，回文数9个：11、22、33、44、55、66、77、88、99；合影运算平级数41个：10、12、13、14、15、16、17、18、20、21、23、24、25、26、27、30、31、32、34、35、36、40、41、42、43、45、50、51、52、53、54、60、61、62、63、70、71、72、80、81、90；合影运算升级数40个：19、28、29、37、38、39、46、47、48、49、56、57、58、59、64、65、67、68、69、73、74、75、76、78、79、82、83、84、85、86、87、89、91、92、93、94、95、96、97、98。

有趣的是：41个合影运算平级数经过一次合影运算都成为回文数。这41个合影运算平级数本身不是合影运算的结果，它们在两位数中都有等价数，而且都是回文数。

一个自然数常常可以有几个等价数，例如：66=15+51=24+42=33+33。

40个合影运算升级数又成为20对：19与91；28与82等等。所以只需要研究20对中的较大数：64、65、73、74、75、76、82、83、84、85、86、87、91、92、93、94、95、96、97、98。其特点是十位数子大于个位数字。

其它各种自然数段也可以作类似的研究。

4.等价树：从某个自然数开始，经过不断的合影运算，形成一棵等价树。

例如：196+691→887+788→1675+5761→7436+6347→……直到出现回文数结束。如果一棵等价树永远没有顶，那么等价树上所有自然数都是利克瑞尔数。如果一棵等价树出现了顶（即回文数），那么等价树上所有自然数都是非利克瑞尔数。

三．利克瑞尔数与非利克瑞尔数。

两者的区别在于最终能不能得到回文数,也就是等价树上升有没有顶点。根据一般自然数中回文数所占的比例的规律，自然数位数越大，回文数所占的比例越小，所以，我认为：一个数永远不能形成回文数的可能性极大。

四．表1列举的“代表性数字”，其实应该还有其“影数”，例如：2位数的98。

附录：表1列举的是各位数字中，到达“回文数”花费步数最多的代表性数字。

2016.11.21.

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